27Орбифолдные эйлеровы характеристики, их обобщения и производящие ряды значений для симметрических функций

Понятие орбифолдной эйлеровой характеристики топологического пространства с действием конечной группы прищло из физики струн. Математический смысл этого понятия обсуждался, в частности, в работах Хирцебруха-Хофера и Атьи-Сегала. В последней были преложены его версии высших порядков. Имеется ряд обобщений этих понятий (например, со значениями в некоторой модификации кольца Гротендика квази-проективных многообразий). Многие из них удовлетворяют аналогам формулы Макдональда. Классическая формула Макдональда утверждает, что для топологического пространства X имеет место равенство $1+\sum_{k=1}^\infty \xi(S^kX)= (1-t)^{-\xi(X)}$, где $\xi(.)$ — эйлерова характеристика, определенная в терминах когомологий с компактными носителями, $S^k X=X^k/S_k$ — $k$-тая симметрическая степень пространства $X$. Формула типа Макдональда для инварианта — это формула, которая дает производящий ряд значений инварианта для симметрических степеней пространства (или для их аналогов) в виде ряда, не зависящего от пространства, в степени, равной значению инварианта для самого пространства. Формулы типа Макдональда могут быть сформулированы для ряда инвариантов, которые могут рассматриваться как обобщения эйлеровой характеристики. Если инвариант принимает значения в кольце, отличном от кольца целых чисел (или другого числового кольца), для придания смысла соответствующему выражению надо использовать, так называемую, степенную структуру над кольцом.