Аннотация:
Пусть $r = m(\rho)$ – кратность комплексного нуля $\rho = \beta + i\gamma$
дзета-функции Римана $\zeta(s)$. В настоящем докладе, продолжающем исследования,
начатые в [1], представлен ряд новых результатов, связанных с величинами $m(\rho)$.
Известно, что такая задача сводится к оценке интегралов, содержащих дзета-функцию, по “очень коротким”
промежуткам. Последнее, в свою очередь, связано с “гипотезами Карацубы” относительно функции
$$
F(T,\Delta)\,:=\,\max_{t\in\,[\,T,\, T+\Delta\,]} \bigl|\zeta({\textstyle\frac12}+it)\bigr|,
\qquad 0< \Delta\,=\,\Delta(T) \le 1.
$$
С помощью комплексного интегрирования мы получаем новую явную оценку для величины
$m(\beta+i\gamma)$, которая представляет наибольший интерес при $\beta$, близких к единице.
Как следствие, из неё получается неравенство
$$
m(\beta+i\gamma)\,\le\,4\log\log\gamma\,+\,20(1-\beta)^{3/2}\log{\gamma},
$$
которое справедливо при $\tfrac{5}{6}\le\beta < 1$ и $\gamma\ge\gamma_1$.
[1] A. Ivić, On the multiplicity of zeros of the zeta-function.
Bulletin CXVIII de l'Académie Serbe des Sciences et des Arts – 1999,
Classe des Sciences mathématiques et naturelles,
Sciences mathématiques. №. 24. P. 119 – 131.
[2] А.А. Карацуба О нижних оценках дзета -функции Римана.
Докл. РАН. 376:1 (2001). С. 15 – 16.
Обратная связь: