Consecutive composite values in polynomial sequences

Все существующие методы нахождения больших промежутков между соседними простыми числами или, что то же, нахождения длинных строк, состоящих из подряд идущих составных чисел, основаны на отыскании больших промежутков в последовательности чисел, взаимно простых с $P(x)$ – произведением всех простых, не превосходящих $x$. Однако, эти методы очень трудно адаптировать к решению других родственных задач, таких, как, например, нахождение большого количества подряд идущих целых $n$, для которых величины $n^{2}+1$ будут составными. Указанная трудность объясняется тем фактом, что основной компонент доказательства – оценка для количества гладких чисел в конструкциях, связанных с большими расстояниями между соседними простыми, не может быть перенесён на случай последовательности $n^{2}+1$.
В настоящем докладе даётся обзор методов, позволяющих находить большие расстояния между соседними простыми числами, и приводится набросок нового вероятностного метода доказательства существования больших строк из последовательных целых чисел $n$, для которых числа $n^{2}+1$ будут составными. Именно, речь пойдёт о строках, состоящих из чисел $n\leqslant X$, длина которых имеет порядок, превышающий тривиальную границу $\log{X}$.
Кроме того, в докладе будут затронуты приложения нового метода к другим родственным задачам. Этот метод представляет собой результат совместной работы с С. Конягиным, Дж. Майнардом, К. Померансом и Т. Тао.