On irrationality measure functions

Для вещественного числа $\alpha$ обычная функция меры иррациональности определяется равенством
$$ \psi_{\alpha}(t)\,=\,\min_{1\le q\le t, \, q\in \mathbb{Z}}||q\alpha ||,\quad t\,\ge\,1 $$
(здесь $||\xi || = \min_{a\in \mathbb{Z}}|\xi - a|$ – расстояние от $\xi$ до ближайшего целого числа). Эта функция тесно связана с наилучшими приближениями к числу $\alpha$. Многие диофантовы свойства вещественных чисел могут быть описаны в терминах функции меры иррациональности $\psi_\alpha (t)$. В частности, спектры Лагранжа и Дирихле удобно определять в терминах величин
$$ \liminf_{t\to\infty} t\psi_\alpha (t)\,\,\,\, \text{and}\,\,\,\, \limsup_{t\to\infty} t\psi_\alpha (t). $$
Другие интересные результаты связаны с осцилляторными свойствами разности $\psi_\alpha (t) -\psi_\beta (t).$
В докладе будут рассмотрены некоторые свойства функций
$$ \psi_\alpha^{[2]}(t)\,=\,\min_{
\begin{array}{c} (q,p): \, q,p\in \mathbb{Z}, 1\le q\le t, \cr (p,q) \neq (p_n, q_n) \,\forall\, n =0,1,2,3,... \end{array}
} |q\alpha -p| $$
и
$$ \psi_\alpha^{[2]*} (t)\,=\,\min_{
\begin{array}{c} (q,p): \, q,p\in \mathbb{Z}, 1\le q\le t, \cr p/q \neq p_n/q_n \,\forall\, n =0,1,2,3,... \end{array}
} |q\alpha -p|, $$
связанные со “вторыми наилучшими” приближениями, а также некоторые свойства функции $\mu_{\alpha}(t)$, относящиеся к диагональной непрерывной дроби Минковского числа $\alpha$.