Аннотация:
Рассмотрим конечное эйлерово произведение $$
\zeta_{m}(s)\,=\,\prod_{k=1}^{m}(1-p_k^{-s})^{-1},
$$
где $p_1,\,\dots,\,p_m$ – начальные простые числа, и
конечную кси-функцию$\xi_{m}(s)=g(s)\zeta_{m}(s)$,
где
$$
g(s)\,=\,\pi^{-\frac{s}{2}}(s-1)\Gamma\bigl({s}/{2}+1\bigr)
$$
– сомножитель из функционального уравнения. Модифицированная симметризованная конечная кси-функция $$
\xi^{ :=}_{{m}}(s) \! =\!s^m(1\!-\!s)^m\big(\xi_{m}(s)\!+\!\xi_{m}(1-s)\big)
$$
тривиальным образом удовлетворяет функциональному уравнению
$\xi^{ :=}_{{m}}(s)=\xi^{ :=}_{{m}}(1-s)$.
Все полюса $q_1,\,q_2,\dots$ этой функции являются простыми;
пусть $r_1,\,r_2,\dots$ – это соответствующие им вычеты,
так что разность
$$
\xi^{ :\text{reg}=}_{{m}}(s)\,=\,\xi^{ :=}_{{m}}(s)-\sum_{k=1}^\infty r_k/(s-q_k)
$$
является регулярной частью функции $\xi^{ :=}_{{m}}(s)$.
Регуляризированное конечное эйлерово
произведение $$
\zeta^{\approx}_{{m}}(s)\,=\,\xi^{ :\text{reg}=}_{{m}}(s)/\big( s^m(1-s)^m g(s)\big)
$$
даёт удивительно хорошие приближения к значениям и нулям дзета-функции.
Пример 1. Наименьший по абсолютной величине невещественный нуль функции
$\zeta^{\approx}_{{1}}(s)$ (определённой посредством
всего одного эйлерова сомножителя $(1-2^{-s})^{-1}$) отличается
от наименьшего нетривиального нуля дзета-функции менее чем на $10^{-6}$.
Пример 2. Первые три эйлеровых сомножителя позволяют вычислить
более 30 верных десятичных знаков $\zeta(1/2+100i)$.
Другие примеры см. на:
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/personaljournal/ eulereverywhere.
Обратная связь: