Some identities for quasimodular functions

Впервые модулярные функции для доказательства результатов о трансцендентности чисел были использованы в 1935 г. в совместной работе К. Малера и Я. Попкена для доказательства трансцендентности по крайней мере одного из значений рядов Эйзенштейна $E_{2}(\tau), E_{4}(\tau), E_{6}(\tau)$ при любом комплексном $\tau$ из верхней комплексной полуплоскости. Тогда же Малер сформулировал гипотезу о трансцендентности при любом $\tau$, $\Im\tau>0,$ хотя бы одного из чисел $e^{2\pi i\tau}$ и $j(\tau)$. В 1937 г. Т. Шнейдер доказал трансцендентность значений модулярного инварианта $j(\tau)$ во всех алгебраических точках $\tau$, $\Im\tau>0$ степени большей $2$. Шнейдер в доказательстве этой теоремы использовал свойства эллиптических функций Вейерштрасса, но ему казалось противоестественным доказывать таким способом утверждение о трансцендентности значений модулярной функции и он сформулировал задачу найти модулярное доказательство этой теоремы. Намного позже в 1995 г. французские математики К. Баре, Г. Диас, А. Гремейн и Ж. Филибер в попытках найти решение проблемы Шнейдера доказали гипотезу Малера, а докладчик доказал, что среди значений трёх указанных рядов Эйзенштейна и экспоненциальной функции в одной точке, всегда найдётся не менее трёх алгебраически независимых чисел. Отсюда последовало утверждение об алгебраической независимости чисел $\pi$ и $e^{\pi}$, а также ряд интересных следствий о других числах. В настоящее время модулярное доказательство теоремы Шнейдера всё ещё не найдено. Не найдено также доказательство полной гипотезы Малера -Манина о значениях модулярного инварианта и экспоненциальной функции $a^{\tau}$ при алгебраическом $a\neq 0,\, 1$.
В докладе будет рассказано об упомянутых здесь и других доказанных результатах, о попытках использования других модулярных и квазимодулярных функций, о дальнейших продвижениях в этой области теории чисел.