О замкнутых бильярдных траекториях в гладких выпуклых телах

Введём несколько определений, касающихся бильярдных траекторий в выпуклых телах.
Бильярдной траекторией в выпуклом гладком теле $T$ назовём ломаную, которая имеет точки излома только на границе $T$ и в каждой точке излома меняет направление по закону упругого отражения.
Длиной замкнутой бильярдной траектории $P$ назовём количество точек излома на $P$.
Вопрос о количестве различных замкнутых траекторий данной длины $n$ был поставлен довольно давно, в работе Биркгофа была получена оценка снизу в двумерном случае.
Сформулируем основной результат работы.
Пусть $T$ — $d$-мерное гладкое выпуклое тело, $d>2$, а $p>2$ — простое число. Тогда в $T$ найдётся не менее $(d-2)(p-1)+2$ различных замкнутых бильярдных траекторий длины $p$.
Случай $p=2$ здесь не рассматривается, так как в работе Kuiper получена оценка количества траекторий ($d$ штук) для данного случая. Эта оценка является точной, так как она точна для эллипсоида с попарно различными длинами осей.
Важная часть требуемой для доказательства техники была развита Бабенко применительно к трёхмерному случаю, однако, как указано Фарбером и Табачниковым, в доказательстве оценки количества траекторий содержались ошибки.
Случай произвольной размерности $d$ и траекторий нечётной (не обязательно простой) длины изучался в статьях Фарбера и Табачникова, где были получены отдельно оценки для простых $p$ (получше) и для непростых нечётных $p$ (похуже).
В данной работе существенно улучшены оценки Фарбера и Табачникова для случая траекторий простой длины.