Тесты для вполне К-спектральных множеств и разделение особенностей

Компактное подмножество $S$ комплексной плоскости называется K-спектральным для оператора $T$ в гильбертовом пространстве, если для любой рациональной функции $r$, норма $r(T)$ оценивается через $\max_S |r|$. Более сильным является условие, что $T$ подобен оператору, обладающему нормальной дилатацией, спектр которой – подмножество границы $S$. В этом случае говорят, что $S$ – вполне K-спектральное множество для оператора $T$.
В докладе будет исследован вопрос, когда из того, что операторы $f_j(T)$ - сжатия или подобны сжатиям, где $f_1$, ... , $f_N$ - аналитические функции на $S$, следует, что $S$ –(вполне) K-спектральное множество для $T$. В частности, будет показано, что во многих случаях пересечение вполне K-спектральных множеств вполне K-спектрально. Мы объясним, как задача сводится к задаче о порождении алгебры $H^\infty$. Ее решение связано с применением техники разделения особенностей ограниченных аналитических функций В.П. Хавина и А. Нерсесяна.
Также будет дано обобщение результата Б. и Ф. Делиона о существовании дилатации оператора в его численный образ на случай невыпуклого множества и достаточные условия подобия нормальному оператору в случае спектра на кривой.
Результаты получены совместно с Майклом Дритчелом и Даниэлем Эстевесом.