Гамма-род и новые методы в топологии

Большим концептуальным сдвигом в топологии алгебраических многообразий, на мой взгляд, является открытие гамма-рода. Род Тодда, представлявшийся всегда вещью неделимой (логарифм мультипликативной группы); можно разбить на гамма-половины. Это больше, чем просто изменение языка - новая формула Римана–Роха–Хирцебруха (а точнее, ее квантовый вариант) строго тоньше классической. Моя цель — объяснить, откуда и как возникает это новое содержание, на конкретных примерах.