Сингулярные конечнозонные операторы и индефинитные метрики. I

Во многих случаях вещественные спектральные данные для периодических конечнозонных операторов (риманова поверхность с отмеченной точкой, локальным параметром и дивизором полюсов) порождают операторы с вещественными, но сингулярными коэффициентами. Эти операторы не являются самосопряженными в обычных (положительных) гильбертовых пространствах функций переменной $x$. В частности, такая ситуация имеет место для специального случая операторов Эрмита с эллиптическим потенциалом $n(n+1)\wp(x)$, собственные функции которых были найдены Эрмитом в 19 веке. В то же самое время именно функции Бейкера–Ахиезера этих операторов, в соответствии с идеями работ Кричевера–Новикова (1989), Гриневича–Новикова (2001) служат правильными аналогами дискретных и непрерывных базисов Фурье на римановых поверхностях. Оказывается, что для рода, отличного от нуля, эти операторы симметричны в некоторой индефинитной метрике. Аналог непрерывного преобразования Фурье в этой метрике является изометрией.