Некоторые теоремы геометрии пространств неположительной кривизны в смысле Буземана

Под пространством неположительной кривизны по Буземану понимается геодезическое пространство (метрическое пространство, в котором любые две точки можно соединить отрезком), обладающее свойством: средняя линия любого треугольника не превосходит половины основания. Изучаются элементарные свойства и примеры таких пространств, сходимость по Громову–Хаусдорфу, геодезическая и метрическая компактификации. В качестве основных результатов рассматриваются две теоремы.
1. Теорема о топологическом строении $G$-пространств Буземана неположительной кривизны: всякое $G$-пространство Буземана неположительной кривизны гомеоморфно евклидову пространству и имеет структуру сингулярного финслерова многообразия: в каждой точке корректно определено касательное пространство, которое является нормированным пространством со строго выпуклой нормой.
2. Теорема о характеризации изометрий как отображений, сохраняющих фиксированное расстояние: Пусть $X$, $Y$ – два локально компактных, геодезически полных, связных на бесконечности пространства неположительной кривизны по Буземану и $f\colon X \to Y$ – биекция. Если существует число $r > 0$ такое, что как $f$, так и обратное к $f$ отображение, сохраняют расстояние $r$ (то есть $d(x, y) = r$ тогда и только тогда, когда $d(f(x), f(y)) = r$), то $f$ является изометрией.
Ряд результатов, играющих вспомогательную роль при доказательстве приведённых теорем, имеют при этом самостоятельную значимость.