Фрактальность решений уравнения Бюргерса без вязкости и проблема низкого максимума случайных функций

В 1992 Я. Синай и У. Фриш инициировали изучение уравнение Бюргерса без вязкости со случайными начальными скоростями. Если пространство одномерно, а начальная скорость - броуновская траектория, то регулярные точки Лагранжа (положения частиц, не испытавших столкновений до заданного момента времени) имеют размерность dim=1/2 (Синай,1992). Это привело к гипотезе: для дробного броуновского движения с параметром автомодельности H размерность dim=H. В докладе представлено доказательство этого факта. Оно основано на анализе log-асимптотики вероятностей (persistence probability) того, что случайная функция не превысит фиксированный уровень в расширяющейся системе областей. Будут приведены примеры, когда такая асимптотика находится точно.