О геометрии алгебраических многообразий над числовыми и конечными полями

Доклад повящен обсуждению новых результатов, полученных мной совместно с Юрием Чинкелем:
1) Аналог первой части теоремы Белого с ограничением на индекс ветвления: для любого подмножества $S\subset P^1$, определенного над $\bar Q$, существует такое рациональное отображение $f\colon P^1\to P^1$, что образы точек ветвления $f$ и $S$ рациональны в базе, и все локальные индексы ветвления являются степенями 2.
2) Если кривая $C$ допускает отображение $g\colon C\to P^1$, которое ветвится только над тремя точками, и все индексы ветвления имеют вид $2^k3^m5^l$, то существует неразветвленное накрытие $\tilde C$ кривой $C_6 = y^6 =x(x-1)$.
3) Через любую точку куммеровой поверхности $X$, определенной над полем $\bar F_q$, проходит рациональная кривая — таким образом, все такие поверхности рационально связны, хотя все они, за исключением унирациональных, не содержат нетривиальных семейств рациональных кривых.