Простые вопросы про расположения точек на многомерных сфере и кубе, на которые мы не знаем ответов

Для произвольного метрического пространства $M$ c метрикой $d(x,y)$ и произвольного положительного числа $s$ определим величину $A(M,s)$ как максимальное число точек в $M$ таких, что попарные расстояния между точками не меньше $s$. В докладе в качестве $M$ рассматриваются единичная сфера в $n$-мерном евклидовом пространстве и куб с вершинами, координаты которых $+1$ или $-1$, в том же пространстве. В обоих случаях удобнее заменить евклидово расстояние в случае сферы на угловое расстояние, и в случае куба на число координат, у которых два вектора различаются, называемое расстоянием Хэмминга. Первой задачей «занимается» дискретная геометрия, а второй – теория кодирования. Мы покажем сходство этих задач. В частности, в обоих случаях функция $A(M,s)$ ведет себя «пороговым образом», т.е. если $s$ больше порога, то она растет не более чем линейно от $n$, а если $s$ меньше порога, то растет экспоненциально. Порог равен 90 градусов для сферы, и $n/2$ для куба. Однако значение показателя экспоненты неизвестно, а только верхние и нижние границы. Тем не менее, из них следуют, в частности, наилучшие верхние и нижние асимптотические границы для контактного числа (kissing number), а также то, что плотность упаковки евклидова $n$-мерного пространства заключена (асимптотически) между $2^{-n}$ и $2^{-0.599 n}$.