Многообразия, задаваемые прямоугольными 3-мерными многогранниками

В работах Погорелова и Андреева конца 1960-х годов был получен следующий критерий реализуемости комбинаторного $3$-мерного многогранника $P$ в пространстве Лобачевского с прямыми двугранными углами: $P$ должен быть простым, флаговым и не иметь $4$-поясов. Мы называем этот класс $3$-мерных многогранников классом Погорелова. В нём содержатся комбинаторные фуллерены, т.е. простые $3$-мерные многогранники, имеющие лишь $5$- и $6$-угольные грани. С каждым многогранником из класса Погорелова связывается два семейства многообразий: гиперболические $3$-мерные многообразия типа Лёбеля (также известные как малые накрытия над $P$) и $6$-мерные квазиторические многообразия. Гиперболические многообразия типа Лёбеля представляют собой асферические $3$-многообразия, фундаментальные группы которых суть некоторые конечные расширения коммутантов прямоугольных групп Коксетера, порождённых отражениями в гранях $P$. Квазиторические многообразия представляют собой гладкие односвязные многообразия с действием тора половинной размерности, пространства орбит которых суть многогранники $P$.
Используя методы торической топологии мы показываем, что каждое из этих семейств многообразий является когомологически жёстким, т.е. топологический (или гладкий) тип этих многообразий определяется их кольцом когомологий. Так как эти кольца когомологий имеют весьма прозрачное комбинаторное описание, это даёт эффективный способ классификации данных многообразий.
Наши результаты переплетаются с классическими сюжетами геометрии и топологии, такими как комбинаторика $3$-мерных многогранников, теорема о $4$ красках, классификация односвязных $6$-мерных многообразий и топологическая инвариантность характеристических классов Понтрягина.
Доклад основан на совместных работах с В.М.Бухштабером, Н.Ю.Ероховцом, М.Масудой и С.Пак.