Об одном теоретико-числовом феномене, связанном с дискретными группами движений пространства Лобачевского

Доклад посвящён удивительному наблюдению, сделанному Х. Хеллингом (H. Helling) несколько лет тому назад. А именно, вычисляя поля следов одного класса дискретных групп движений $3$-мерного пространства Лобачевского, он обнаружил, что во всех рассмотренных им случаях (а их было более 200) число классов идеалов этого поля оказывалось равным единице (иными словами, кольцо целых элементов поля было кольцом главных идеалов). Это наблюдение подтвердилось дальнейшими экспериментами, но до сих пор не доказано, что это верно для всех групп рассматриваемого класса (которые параметризуются классами сопряженности в $\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)$).