Эллиптические гипергеометрические функции, SL(3,Z) и линзовое пространство

Доклад будет состоять из двух частей. В первой я расскажу об SL(3,Z)-преобразованиях эллиптической гамма-функции и появлении набора диофантовых уравнений из условия SL(3,Z)-ковариантности для подынтегральных выражений эллиптических гипергеометрических интегралов, описывающих суперконформные индексы суперсимметричных теорий поля на четырехмерном пространстве S^1 x S^3. Во второй части я опишу функции, связанные с переходом от трехмерной сферы S^3 к специальному пространству линз L(r,1). Они описываются конечными суммами обычных эллиптических гипергеометрических интегралов с очень специальным выбором параметров. При этом возникают новые точно вычисляемые интегралы и любопытные преобразования симметрии соответствующего аналога гипергеометрической функции Эйлера-Гаусса, описываемые действием группы Вейля системы корней E_7 в пространстве Z^8.