Орбиты вещественной полупростой группы Ли на вещественных точках симметрического пространства

Многие классификационные задачи сводятся к следующей ситуации. Имеется однородное многообразие $X$ комплексной алгебраической группы $G^\mathbb C$, причём и многообразие, и группа, и действие определены над полем $\mathbb R$. Тогда группа вещественных точек $G=G^\mathbb C(\mathbb R)$ действует на множестве вещественных точек $X(\mathbb R)$ уже, вообще говоря, не транзитивно, но с конечным числом орбит, и задача состоит в том, чтобы описать эти орбиты. Знакомый всем пример — классификация квадратичных форм над полем действительных чисел. Здесь пространство $Q_n$ комплексных (невырожденных) квадратичных форм от $n$ переменных снабжено транзитивным действием группы $\operatorname{GL}_n(\mathbb C)$, в то время как множество $Q_n(\mathbb R)$ вещественных квадратичных форм распадается на $n+1$ орбит группы $\operatorname{GL}_n(\mathbb R)$, нумеруемых сигнатурами.
В докладе мы решим задачу описания вещественных орбит в случае, когда $X$ — симметрическое пространство полупростой группы $G^\mathbb C$. Решение в указанном случае было анонсировано в книге A. Borel, L. Ji «Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces» (2006), однако аргументы там неполны, и ответ в общем случае неверен (и даже не может быть верным, так как внутренне противоречив). Мы исправим эту ошибку и дадим верный ответ. Наш метод, как и в вышеупомянутой книге, основан на теории когомологий Галуа, а также на структурных результатах о вещественных симметрических пространствах (не обязательно риманова типа).
Полученный результат может быть переведён с языка когомологий Галуа на геометрический язык. Эта геометрическая формулировка имеет смысл (возможно, с некоторыми поправками) для произвольного сферического однородного многообразия $X$ комплексной редуктивной группы $G^\mathbb C$ (по крайней мере, если $G$ — расщепимая вещественная форма группы $G^\mathbb C$). Классификация $G$-орбит на $X(\mathbb R)$ в этом случае — предмет текущих совместных исследований S. Cupit-Foutou и докладчика.