От бильярдов в многоугольниках к динамике на пространстве модулей

Я постараюсь в трёх лекциях дать первое представление о динамике на пространстве модулей римановых поверхностей и о том, зачем она нужна. В качестве модельной задачи мы рассмотрим бильярд на плоскости с периодическими прямоугольными препятствиями (модель П. и Т. Эренфест). Несколько лет назад Делекруа, Лельевр, и Убер доказали, что диаметр типичной траектории такого бильярда растет как длина траектории в степени 2/3 (а вовсе не в степени 1/2 как диаметр траектории случайного блуждания или траектории бильярда Синая). Число 2/3 в этой истории - это показатель Ляпунова расслоения Ходжа над пространством модулей, которое скрыто за бильярдом, а сама теорема - одно из первых практических приложений в этой бурно развивающейся области. Цель лекций - дать представление о каждом из этих терминов, о связи между ними, о недавних фундаментальных результатах Концевича, Мирзахани, Мохамади, Эскина, Филипа, и рассказать о том, над какими задачами ломают головы ведущие специалисты в этой области в данный момент.
На первой лекции, начав с бильярдов в многоугольниках, мы перейдем к слоениям на плоских поверхностях, а от них - к семействам плоских поверхностей. Мы обсудим исключительно богатую геометрию таких семейств, в частности, действие группы $GL(2,R)$ и канонический элемент объема. Мы убедимся, что поверхность с особенно плоской метрикой - это то же самое, что риманова поверхность с голоморфной 1-формой на ней. Я собираюсь закончить первую лекцию теоремой Мэйзура и Вича об эргодичности Тейхмюллерова геодезического потока, рассказав между делом, и что такое эргодичность, и что такое Тейхмюллеров геодезический поток.
Во второй лекции мы обсудим автоморфизмы поверхностей, в частности, аносовские автоморфизмы. После этого я постараюсь проиллюстрировать идею ренормализации в динамике на частном случае, пришедшем с задачи о периодическом бильярде. Чтобы формализовать идею ренормализации мы на пальцах определим расслоение Ходжа, связность Гаусса-Манина, и доберемся до формулировки мультипликативной эргодической теоремы в применении к плоским связностям.
В третьей лекции я хочу попробовать рассказать о недавних революционных теоремах жесткости Мирзахани-Мохаммади-Эскина и Филипа и дойти до переднего края науки. Я постараюсь закончить сводкой последних событий на фронте программы классификации GL(2,R)-инвариантных подмногообразий в пространстве модулей римановых поверхностей.