Алгебраические снопы расслоений-2

В докладе (основанном на препринте https://arxiv.org/abs/1610.05754 ) планируется рассказать о Морита 2-снопах расслоений (функторах из группоида Чеха в 3-группу Брауэра-Пикара). В частности, доказать теорему о том, что они (с точностью до естественной эквивалентности) классифицируются группой когомологий $H^4(X,\, \mathbb{Z}).$ Доказательство основано на двух идеях: во-первых, гомотопический функтор, сопоставляющий пространству $X$ группу 2-$MBG(X)$ классов эквивалентности Морита 2-снопов расслоений, представим (по теореме Брауна); во-вторых, имеется естественный по $X$ изоморфизм функторов 2-$MBG(\Sigma X)\rightarrow MBG(X)$. Заметим, что последний факт является следствием того, что если Морита 2-сноп тривиален, то две его тривиализации отличаются на Морита 1-сноп и является обобщением результата о том, что (обычные) снопы расслоений над трехмерной сферой классифицируются (с точностью до эквивалентности) классами изоморфизма линейных расслоений над ее экватором.
Хотелось бы также успеть рассказать о применении аналогичных идей к изучению более тонкого гомотопического инварианта — группы классов эквивалентности расслоений над $X$ со слоем матричная алгебра, где два таких расслоения эквивалентны, если они становятся изоморфными после тензорного умножения на некоторые тривиальные расслоения матричных алгебр. Это отношение эквивалентности более тонкое, чем обычная Морита-эквивалентность. Для того, чтобы применить предыдущие методы, нужно определить категорию, объектами которой были бы расслоения матричных алгебр над $X$, а классами их изоморфизма (в смысле этой категории) — определенные выше классы эквивалентности. В частности, такие изоморфизмы не обязательно сохраняют размерность расслоений. Кроме того, два расслоения одинаковой размерности могут быть неизоморфными в обычном смысле, но изоморфны в смысле нашей категории. Для того, чтобы описать такие изоморфизмы, был определен класс бимодулей, названных “жесткими”. Далее для построенной категории можно определить соответствующие снопы.