Алгебраические снопы расслоений

Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/1610.05754 и посвящен различным версиям снопов расслоений (bundle gerbes), связанных с 3-группой Брауэра-Пикара. Напомним что это такое. Пусть $R$ — коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим (слабую) 2-категорию, объектами которой являются алгебры Ацумая $A$ над $R$, 1-морфизмами — Морита-эквивалентности $M\colon A\rightarrow B$ (обратимые $(B,\, A)$-бимодули, композиция которых определяется с помощью тензорного умножения), а 2-морфизмами — изоморфизмы бимодулей. Ясно, что это — 2-группоид (все морфизмы являются изоморфизмами). Кроме того, на нем есть структура моноидальной категории, определяемой тензорным произведением алгебр Ацумая. Значит, это — слабая 3-группа (с единственным объектом, соответствующим кольцу $R$, 1-морфизмами — алгебрами Ацумая, и т.д.).
Пусть $X$ — хорошее топологическое пространство, $\mathcal{U}=\{ U_\alpha \}_\alpha$ — его открытое покрытие. По последнему определяется группоид Чеха $Gr(\mathcal{U}).$ Естественно возникают два типа функторов: во-первых, функторы из группоида Чеха в 2-группоид Брауэра-Пикара, а во-вторых — в 3-группу Брауэра-Пикара. Их можно рассматривать как аналоги понятия 1-коцикла для расслоения со структурной группой (которую можно рассматривать как “обычную” категорию с одним объектом). Естественные преобразования определяют эквивалентность коциклов (в том числе над разными покрытиями).
Будет доказано, что категория функторов первого типа (в 2-группоид Брауэра-Пикара) эквивалентна категории “обычных” снопов расслоений, а функторы второго типа (со значениями в 3-группе Брауэра-Пикара) с точностью до эквивалентности классифицируются группой когомологий $H^4(X,\, \mathbb{Z}).$
Далее мы применим аналогичный подход для изучения более тонкого гомотопического инварианта — группы классов эквивалентности расслоений над $X$ со слоем матричная алгебра, где два таких расслоения эквивалентны, если они становятся изоморфными после тензорного умножения на некоторые тривиальные расслоения матричных алгебр.