О полиномиальных спиральностях в МГД

Интеграл спиральности (в форме интеграла Хопфа) играет важную роль для уравнений магнитной гидродинамики (применяется для оценки спектра магнитной турбулентности). Его топологический смысл был выявлен В.И. Арнольдом (1974) как среднее значение асимптотического предела интегралов Гаусса по парам магнитных линий. В 2012 (Тр. МИАН, 278) автор повторил построение Арнольда и определил интеграл квадратичной спиральности. Была высказана гипотеза, что это позволит уточнить решения стандартных задач МГД, применив интеграл квадратичной спиральности по аналогии. Гипотеза была подвергнута критике рядом авторов, которая сводилась к следующему: а) квадратичная спиральность нестабильна и при $C^1$-малой (сколь угодно малой) деформации магнитного поля падает до значения квадрата спиральности. б) интеграл квадратичной спиральности не записывается как интеграл от плотности по пространству. Цель доклада – ответить на возражения, тем самым, подтвердить гипотезу. В заключение я расскажу о том, как устроены кубические магнитные спиральности: их оказалось 8, пять из них не выражаются через спиральность и квадратичную спиральность.