Негладкие струны и некоммутативная геометрия

Фазовое пространство $d$-мерной теории гладких замкнутых струн можно отождествить с пространством гладких петель со значениями в $d$-мерном пространстве Минковского $R_d$. Однако, симплектическая форма этой теории допускает продолжение на соболевское пространство $V_d=H_0^{1/2}(S^1,R_d)$ полудифференцируемых петель в $R_d$. Группа $\text{QS}(S^1)$ репараметризаций таких петель состоит из квазисимметичных гомеоморфизмов окружности, причем ее действие на соболевском пространстве $V_d$ сохраняет указанную симплектическую форму. С учетом этих фактов мы можем выбрать в качестве фазового пространства теории негладких струн соболевское пространство $V_d$, наделенное действием группы $\text{QS}(S^1)$.
Если бы это действие было гладким, в качестве классической системы, ассоциированной с фазовым пространством $V_d$, нужно было бы взять пару, состоящую из $V_d$ и алгебры Ли группы $\text{QS}(S^1)$. Однако указанное действием гладким не является и группе $\text{QS}(S^1)$ нельзя сопоставить никакой классической алгебры Ли. Тем не менее, удается построить напрямую квантовую алгебру Ли, ассоциированную с соболевским пространством $V_d$. Для этого используются методы, заимствованные из некоммутативной геометрии.