О нильпотентно-выпуклых задачах оптимального управления

В последние годы широкое развитие получили методы нильпотентной аппроксимации. Так, широко известна теорема Громова об аппроксимации метрик в пространствах Карно–Каратеодори левоинвариантными субримановыми метриками на нильпотентных группах Ли. Общие задачи оптимального управления (а также многие гамильтоновы системы с разрывной правой частью) приближаются нильпотентно-выпуклыми задачами оптимального управления. Такие задачи поддаются относительно точному исследованию благодаря наличию богатой внутренней геометрии. Например, недавно удалось получить ответ на старый вопрос о том, насколько «плохим» может быть множество точек разрыва оптимального управления. Хорошо известны искусственные примеры Филиппова и Силина, в которых оптимальное управление имеет разрывы на множестве положительной меры. В нильпотентно-выпуклых задачах такого происходить не может: оптимальное управление может иметь не более чем счетное число точек переключения (что является случаем общего положения по теореме Купки–Зеликина–Борисова).
В качестве одного из примеров я приведу серию задач с многомерным управлением из шара, в которых оптимальное управление движется вдоль всюду плотной иррациональной обмотки Клиффордова тора, вложенного в границу этого шара. При этом обмотка целиком проходится за конечное время, а оптимальная траектория является обобщенной логарифмической спиралью, натянутой на эту обмотку, и попадает в начало координат также за конечное время. Доказательство иррациональности обмотки сводится к исследованию линейной независимости над $\mathbb Q$ корней серии многочленов специального вида и опирается на теорию Галуа.