Топологическая классификация семейства интегрируемых систем Чаплыгина–Горячева

Рассматривается однопараметрическое семейство гамильтоновых систем на коалгебре $e(3)^*$ со стандартной скобкой Ли–Пуассона, задаваемое гамильтонианом
$$ H=\frac12\left(s_1^2+s_2+2s_3^2+c(r_1^2-r_2^2)+\frac{b}{r_3^2}\right). $$

В предположении равенства нулю интеграла площадей эти системы, ограниченные на поверхность уровня функций Казимира, имеют две степени свободы и интегрируются при помощи дополнительного интеграла
$$ K=\left(s_1^2+s_2^2+\frac{b}{r_3^2}\right)^2+2cr_3^2(s_1^2-s_2^2)+c^2r_3^4. $$

Частный случай $b=0$ был рассмотрен С.А. Чаплыгиным (1903), изучавшим движение твёрдого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Обобщение этого случая ($b\neq 0$) было найдено Д.Н. Горячевым (1916).
При $b\geq 0$ с помощью инвариантов Фоменко–Цишанга и Болсинова–Фоменко получена лиувиллева и частично траекторная классификация рассматриваемых систем. Оказалось, что неособые слоения Лиувилля в случае Чаплыгина ($b=0$) устроены точно так же, как и в знаменитом случае Эйлера. Более того, на определённых уровнях энергии имеются также топологические траекторные изоморфизмы между этими двумя системами. При $b>0$ системы Горячева оказываются лиувиллево эквивалентными многим классическим интегрируемым системам, в частности, случаю Жуковского в динамике твёрдого тела, а также некоторым интегрируемым биллиардам.
Случай $b<0$ является наиболее интересным: здесь все слои слоения Лиувилля некомпактны. И хотя формально теория Фоменко–Цишанга в этом случае неприменима, тем не менее соответствующее слоение Лиувилля по-прежнему допускает описание в терминах инварианта Фоменко (молекулы). В этом контексте интересной задачей представляется построение некомпактного аналога теории Фоменко–Цишанга. В этом направлении был сделан первый шаг, а именно, рассмотрен случай систем с одной степенью свободы. Оказалось, что в некоторых предположениях некомпактные слоения Лиувилля для таких систем допускают описание в терминах атомов и молекул, аналогичное компактному случаю.