Конечные линейные группы, решетки и произведения эллиптических кривых (по совместной работе с Ю. Г. Зархиным)

Ряд недавних работ посвящен исследованию комплексных торов, снабженных действиями конечных групп (и, более общо, семействами эндоморфизмов). Например, такие торы использовались C. Voisin для построения примеров келеровых многообразий, гомотопически не эквивалентных проективным комплексным многообразиям. Среди таких торов особый интерес предсталяют абелевы многообразия. Например, они возникают как якобианы гладких проективных кривых, снабженных групповыми действиями. Такие действия индуцируют разложения якобианов с точностью до изогении. Для гиперэллиптических кривых интерес к таким разложениям восходит к классической задаче о выражении гиперэллиптических интегралов через эллиптические, поскольку проблема сводится к разложению, с точностью до изогении, якобиана в произведение эллиптических кривых.
Комплексные торы с действиями конечных групп получаются с помощью следующей конструкции. Пусть $V$ — комлексное векторное пространство размерности $n$, а $G$ — конечная подгруппа в $GL(V)$. Если в $V$ существует $G$-инвариантная решетка $\Gamma$ ранга $2n$, то $V/\Gamma$ — комплексный тор с действием группы $G$. Это приводит к следующим естественным вопросам:
(1) Когда в $V$ существует $G$-инвариантная решетка $\Gamma$ ранга $2n$?
(2) Если $\Gamma$ существует, когда $V/\Gamma$ является абелевым многообразием?
(3) Если $\Gamma$ существует и $V/\Gamma$ является абелевым многообразием, что можно сказать о разложении $V/\Gamma$ с точностью до изогении?
В докладе будут даны ответы на эти вопросы для неприводимых групп $G$.