Алгебры операторов Лакса и конечномерные интегрируемые системы

Алгебры операторов Лакса введены в [1] для классических простых алгебр Ли, и в [3] для произвольных полупростых и редуктивных комплексных алгебр Ли в связи с понятием оператора Лакса со спектральным параметром на римановой поверхности, ранее введенным И. М. Кричевером. Они представляют собой алгебры токов на римановых поверхностях со значениями в полупростых и редуктивных алгебрах Ли, и тесно связаны с конечномерными интегрируемыми системами, такими как системы Хитчина, Калоджеро–Мозера, классические волчки, задачи обтекания твердого тела. Во многих отношениях алгебры операторов Лакса аналогичны алгебрам Каца-Муди. Нескрученные алгебры Каца–Муди являются алгебрами операторов Лакса на римановой сфере с отмеченными точками 0 и $\infty$.
С точки зрения интегрируемых систем значение алгебр операторов Лакса заключается в том, что по каждому элементу такой алгебры, беря его в качестве оператора Лакса, можно построить гамильтонову систему, интегрируемую при определенных условиях.
В докладе будет сформулировано определение оператора Лакса со спектральным параметром на римановой поверхности, показано, что такие операторы образуют алгебру Ли (алгебру операторов Лакса). По каждому такому оператору будет построена иерархия коммутирующих потоков, дана формула для их гамильтонианов. В основных чертах будет описан метод алгебро-геометрического интегрирования. Излагаемая теория будет иллюстрироваться на примере систем Хитчина и Калоджеро-Мозера – важнейших систем рассматриваемого класса.
Список литературы

• И. М. Кричевер, О. К. Шейнман, “Алгебры операторов Лакса”, Функц. анализ и прил., 41:4 (2007), 46–59, arXiv: math.RT/0701648; I. M. Krichever, O. K. Sheinman, “Lax operator algebras”, Funct. Anal. Appl., 41:4 (2007), 284–294;
• O. K. Sheinman, Current algebras on Riemann surfaces, De Gruyter Expositions in Mathematics, 58, Walter de Gruyter GmbH & Co, Berlin–Boston, 2012, ISBN: 978-3-11-026452-4, 150 pp.
• O. K. Sheinman, “Lax operator algebras and gradings on semi-simple Lie algebras”, Transformation groups, 21:1 (2016), 181–196; arXiv: 1406.5017;
• О. К. Шейнман, “Алгебры операторов Лакса и интегрируемые системы”, УМН, 71:1(427) (2016), 117–168; arXiv: 1602.04320