Проблема Стеклова и оценки на непрерывном спектре

Задача Стеклова состоит в нахождении оценок на последовательность ортонормированных многочленов на носителе веса ортогональности. В 1921 [1] В.А. Стеклов выдвинул гипотезу, что если вес ортогональности отграничен от нуля, то последовательность ортогональных многочленов (на носителе веса) ограничена.
В 1979 [2] Е.А. Рахманов опроверг эту гипотезу, построив последовательность ортонормированных с положительным весом многочленов, которые в некоторой точке носителя веса росли с логарифмической скоростью. Затем проблема Стеклова стала: найти максимально возможный рост таких последовательностей. Современная версия проблемы Стеклова тесно связана со следующей экстремальной задачей. Для фиксированного $n\in\mathbb{N}$, найти
$$ M_{n,\delta}=\sup_{\sigma\in S_\delta}\|\phi_n\|_{L^\infty(\mathbb{T})}, $$
где $\phi_n(z)$ – ортонормированный по мере $\sigma\in S_\delta$ многочлен и $S_\delta$ – класс Стеклова верояностных мер $\sigma$ на единичной окружности, таких что $\sigma'(\theta)\geqslant\delta/(2\pi)>0$ в каждой точке Лебега $\sigma$.
Существует элементарная оценка
$$ M_n\lesssim\sqrt{n}. $$
В 1981 [3] Е.А. Рахманов доказал:
$$ M_n\gtrsim\sqrt{n}/(\ln n)^{\frac3{2}}. $$
В нашей совместной работе с С.А. Денисовым и Д.Н. Туляковым [4] мы доказали, что
$$ M_n\gtrsim\sqrt{n}, $$
т.е. элементарная оценка сверху точна.
В докладе мы обсудим историю, постановку задачи и детали конструкции экстремального ортонормированного многочлена. Мы также рассмотрим проблему в пространствах $L_p$, $A_p$ и затронем связь с известной нелинейной гипотезой Карлесона (https://terrytao.wordpress.com/2007/12/17).

Список литературы

1. W. Stekloff, “Une méthode de la solution du problème de développement des fonctions en séries de polynomes de Tchébychef indépendante de la théorie de fermeture”, Извѣстiя Россiйской Академiи Наукъ. VI серiя, 15 (1921), 281–302    ; 303–326    
2. Е. А. Рахманов, “О гипотезе Стеклова в теории ортогональных многочленов”, Матем. сб., 108(150):4 (1979), 581–608      ; E. A. Rakhmanov, “On Steklov's conjecture in the theory of orthogonal polynomials”, Math. USSR-Sb., 36:4 (1980), 549–575        
3. Е. А. Рахманов, “Об оценках роста ортогональных многочленов, вес которых отграничен от нуля”, Матем. сб., 114(156):2 (1981), 269–298      ; E. A. Rakhmanov, “Estimates of the growth of orthogonal polynomials whose weight is bounded away from zero”, Math. USSR-Sb., 42:2 (1982), 237–263        
4. A. Aptekarev, S. Denisov, D. Tulyakov, “On a problem by Steklov”, J. Amer. Math. Soc., 29:4 (2016), 1117–1165, arXiv: 1402.1145