Значения многочленов от матриц

Общая постановка такова. Пусть $P(x_1,dots,x_n)$ – некоммутативынй многочлен от матриц порядка $n$. Каким может быть множество его значений?
И. Капланский и И. В. Львов поставили вопрос о том, что множество значений полилинейного многочлена есть векторное пространство (в этом случае оно совпадает либо с нулем, либо с пространством всех матриц, либо с пространством бесследовых матриц, либо со скалярными матрицами).
Решение проблемы Капланского для матриц второго порядка над квадратично замкнутым полем оказалась весьма нетривиальным, требующим применения первой фундаментальной теоремы об образующих инвариантов набора матриц относительно сопряжения и теоремы Амицура об остсутствии делителей нуля в алгебре общих матриц.
Вопросы, связанные с уравнениями в матрицах, имеют отношение к конструкции алгебраически замкнутого тела, к теореме о свободе (если расширить свободную ассоциативную алгебру $k$ дополнительной переменной $t$ и добавить одно соотношение, в котором участвует $t$, то это не приведет к появлению новых соотношений в образе $k$.
Имеется ряд глубоких проблем, относящихся к множеству значений слов в группе, в частности, теорема Бореля о плотности множества значений группового слова. Представляется важной задача доказательства эпиморфности образа в алгебре $PSL_2({mathbb C})$.