Когомологии и подмногообразия гиперкэлеровых многобразий

Согласно теореме Богомолова любое компактное гиперкэлерово многообразие накрывается произведением торов и гиперкэлеровых многообразий с максимальной голономией (простых). На данный момент, известно очень мало примеров простых гиперкэлеровых многообразий – кроме K3, это две серии примеров (схемы Гильберта от K3 и обобщённое многообразие Куммера) и два спорадических многообразия О'Грэди. Естественными являются вопросы – существуют ли другие простые гиперкэлеровы многообразия и могут ли быть одни гиперкэлеровы многообразия быть подмногообразиями других. Гипотеза Бовилля утверждает, что в каждой размерности с точностью до деформации простых гиперкэлеровых многообразий конечное число, а в более слабой формулировке – что все числа Бетти ограниченны. Я расскажу про обобщения результатов Гуана в размерности четыре в больших размерностях, в частности, про неравенства на числа Бетти, следующие из инвариантов Розанского-Виттена.
Во второй части доклада я расскажу про абсолютно трианалитические подмногообразия. Ранее Вербицкий, Каледин доказали, что в схемах Гильберта от K3 нет нетривиальных абсолютно трианалитических подмногообразий, в частности торов. Для многобразий О'Грэди отсутствие торов доказал Солдатенков с помошью $k$-симплектических структур. В своём докладе я расскажу про отсутствие торов в обобщённых многообразиях Куммера.