Аннотация:
Рассмотрим сумму двух эрмитовых матриц $A$ и $B$. Это снова будет эрмитова матрица. В 1912 году Герман Вейль задался таким вопросом: что можно сказать о ее собственных значениях, если известны собственные значения матриц $A$ и $В$? Во-первых, ясно, что след $A+B$ будет равен сумме следов исходных матриц; во-вторых, наибольшее собственное значение $A+B$ не превосходит суммы наибольших собственных значений $A$ и $B$. А какие еще есть ограничения?
В 1962 году Альфред Хорн выписал ряд неравенств на собственные значения матриц $A$, $B$ и $A+B$ и сформулировал гипотезу о том, что это полный набор условий. В 1999 году А. А. Клячко свел эту гипотезу к так называемой гипотезе о насыщении, которая вскоре после этого была доказана Алленом Кнутсоном и Терри Тао. Они же предложили описание неравенств Хорна при помощи «сот» – диаграмм вроде той, что изображена на рисунке.
Они также показали, что эти диаграммы – и неравенства Хорна – имеют самое прямое отношение к теории представлений полной линейной группы $GL(n)$, а также к исчислению Шуберта на грассманианах. Они, в частности, позволяют свести задачу о разложении тензорного произведения двух представлений на неприводимые компоненты к чисто комбинаторной задаче подсчета «пазлов» – замощений треугольника элементами мозаики определенного вида.
Курс будет доступен первокурсникам и всем, знающим линейную алгебру в объеме стандартного курса. Знания теории представлений не требуется, все необходимые понятия будут объяснены в ходе лекций.
Обратная связь: