Вероятностная теория чисел. Занятие 4

Цель данного курса – показать, как вероятностные методы и интуиция помогают отвечать на теоретико-числовые вопросы. Я расскажу про два существенно разных сюжета.

• Правильные гипотезы
  Верно ли, что простых чисел-близнецов бесконечно много? Верно ли, что любое четное число раскладывается в сумму двух простых? Ответы на эти вопросы, формально говоря, еще не получены. Однако, существуют правдоподобные гипотезы, дающие куда более точную информацию: так, если $B(n)$ – количество простых чисел-близнецов, меньших $n$, то $\lim_{n\to\infty}B(n)/C\frac{n}{\ln^2n}=1$ (значение константы $C$ также предсказывается). Эта гипотеза следует из простых вероятностных соображений и подтверждается численными данными. Вероятностные «прикидки» позволяют сделать предположения и в ряде других известных вопросов (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза Римана), которые тоже подтверждаются численными экспериментами.
  Кажется странным, что в детерминированной ситуации (число уж либо простое, либо нет) оказывается полезным вероятностный подход. Причину можно попытаться описать следующим образом: простые числа определяются свойствами относительно умножения, а относительно сложения никакой ощутимой «структуры» у них нет. Поэтому относительно сложения они ведут себя «случайным» образом.
• Типичное число простых множителей натурального числа
  Пусть $w(n)$ – число различных простых делителей натурального числа $n$. Выберем $n$ равномерно случайно из $\{1,2,…,N\}$ для большого $N$. Чему равно типичное значение $w(n)$?
  Оказывается, для почти всех $n$ мы имеем $w(n)\approx\ln\ln n$. Более того, мы докажем теорему Эрдеша-Каца для $w(n)$. Эта теорема утверждает, что $w(n)$ – $\ln\ln n$ имеет порядок $\sqrt{\ln\ln n}$ и описывается гауссовским распределением.
  На этом материале мы познакомимся с базовыми теоремами теории вероятностей: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.