Группы G_{n}^{k} и теория узлов

В работе http://arxiv.org/abs/1501.05208 был сформулирован общий принцип "Если для динамических систем, описывающих движение $n$ частиц, имеется хорошее свойство общего положения коразмерности 1, зависящее от $k$ частиц, то такие динамические системы имеют инварианты со значениями в группах $G_{n}^{k}$". Простейший пример отвечает динамике движения $n$ точек на плоскости.
1) В первой части я построю гомоморфизм из группы крашеных кос из $n$ нитей в обобщение группы $G_{n}^{3}$. Обычный гомоморфизм в $G_{n}^{3}$ отвечает при $k=3$ свойству "три точки лежат на одной прямой"; и описан явно в совместной работе с И.М.Никоновым: http://arxiv.org/abs/1507.03745 и рассказан в докладе "Инварианты и картинки" http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=12150 [3] [3] 2) Во второй части доклада будет построено копредставление, сопоставляющее каждой крашеной косе $beta$ из $n$ нитей, слово $Q(beta)$ из двух видов образующих: стандартных образующих Артина $sigma_{i},i=1,dots, n-1$ и “новых” образующих $a_{ijk}$, такое что удаление новых образующих $a_{ijk}$ приводит к исходному слову, записывающему $beta$ в образующих Артина. Таким образом, по любой записи (крашеного) слова-косы можно однозначным способом восстановить “воображаемые” образующие, дающие много новой информации о классических перекрестках классической косы. 3) В третьей части доклада будет рассказано, как описанные выше методы переносить с кос на классические узлы и зацепления. Оказывается, классическому узлу $Ksubset R^{3}$ можно сопоставить двумерный комплекс $alpha(K)$, таким образом, что комплексы $alpha(K),alpha(K')$, отвечающие изотопным классическим узлам, получаются друг друга известными в теории двумерных узлов движениями Розмана. http://arxiv.org/abs/1604.06597 [4]
Это позволяет переносить на классические узлы инварианты двумерных (виртуальных) узлов.
Описанные выше темы породили множество задач, как в теории групп, так и в маломерной топологии и геометрии.