Квадратичный мир и уравнение Пелля

Рассмотрим уравнение $y^2-61x^2=\pm 1$. Его решения самым лучшим теоретически возможным образом приближают $\sqrt{61}$, как легко поймёт любой из вас (в смысле, что рациональное число $y/x \approx 61$). Но существуют ли они? Оказывается, да. Но первое из них имеет вид ($y=1766319049, x=226153980$) ! Как можно (было) его найти? Но сперва, как вообще можно понять, что решения существуют? Оказывается, что на первый вопрос ответ даёт разложение числа $\sqrt{61}$ в цепную дробь. Ответом на второй вопрос служит красивейшая ветвь алгебры, посвящённая гиперболическим поворотам. Ключевым утверждением при этом служит знаменитая Лемма Минковского о выпуклом теле. В этом месте сходятся и теснейшим образом переплетаются алгебра, арифметика и геометрия. На самом деле, существование решения можно доказать, как минимум, для любого уравнения Пелля вида $y^2-mx^2 = \pm 1$, где $m$ свободно от квадратов.