Делители нуля в групповых кольцах и оценки множеств без прогрессий

Если $G$ – большая циклическая группа порядка $n$, то теорема Рота утверждает, что максимальный размер $r(G)$ множества $A$ в $G$, не содержащего нетривиальных трехчленных прогрессий (решений уравнения $xy=z^2$), есть $r(G)=o(n)$. Лучшие на настоящий момент оценки $r(G)$ сверху и снизу показывают, что $r(G)/n$ стремится к нулю быстрее чем $1/\log(n)^{1-c}$, но медленнее, чем $1/n^c$ при любом $c>0$. В недавней замечательной работе Крута, Льва и Паха показано, что, напротив, $r(G)=O(n^a)$ при некотором конкретном $a<1$, если $G$ – степень циклической группы (у них была степень $Z_4$, но то же, как было почти сразу замечено, верно и для прочих и доказывается в их духе даже проще). Цель доклада – объяснить связь этого явления с существованием огромного пространства $X$ в групповой алгебре группы $G$, для которого $X^3=0$.