Арифметичность ложных проективных плоскостей (по Клинглеру)

Ложные проективные плоскости это компактные комплексные поверхности с числами Бетти как у $\mathbb{CP}^2$, но не изоморфные $\mathbb{CP}^2$. Такие поверхности впервые были построены Мамфордом. Из теоремы Калаби–Яу следует, что ложные проективные плоскости являются факторами шара $\mathbb{B}_2 / \Gamma$, где $\Gamma$ — кокомпактная решётка в $PU(2,1)$. В своей статье 2003 года Б. Клинглер доказал, что решётки в $PU(2,1)$, которые получаются как фундаментальные группы ложных проективных плоскостей, арифметические. Известная теорема Маргулиса о супержёсткости сводит задачу к изучению представлений $\Gamma \longrightarrow PGL_3(k)$, где $k$ – локальное поле. Тем не менее, доказательство Клинглера использует множество полезных геометрических конструкций и результатов (спектральное накрытие, теория Громова–Шоэна, результаты Симпсона о представлениях фундаментальных групп). В своём докладе я в общих чертах расскажу доказательство Клинглера, сформулировав при этом все необходимые результаты и идеи.