Комбинаторика триангулированных многообразий

Каждому симплициальному комплексу можно сопоставить его $f$-вектор, то есть набор (число вершин, число ребер, число 2-граней, и т.д.). Естественная комбинаторная задача: описать все возможные $f$-векторы триангуляций заданного многообразия, или хотя бы описать некоторые их свойства.
Вместо $f$-вектора удобнее использовать $h$-вектор, несущий ту же информацию о комбинаторике триангуляции. В 70-х годах появилась теория алгебр Стенли–Райснера, позволившая перевести исходную комбинаторно-топологическую задачу на алгебраический язык. Наиболее впечатляющие результаты эта теория дала для триангулированных сфер. Алгебраическая теория для триангуляций произвольных многообразий оказалась более сложной и обрела относительно законченный вид в работах Новик и Шварца 2009-го года. Они построили фактор-алгебру алгебры Стенли–Райснера триангулированного многообразия, являющуюся алгеброй с двойственностью Пуанкаре, и выразили размерности ее градуированных компонент через $h$-вектор и числа Бетти многообразия.
В докладе я расскажу об этой теории более подробно и, насколько позволит время, объясню топологию и геометрию, стоящую за алгебрами Новик-Шварца.