Объемный рост материалов. Математическая теория

Под ростом материала подразумевается физический процесс увеличения его размера за счет добавления массы. Объемный рост наблюдается при развитии опухолей мягких тканей и росте мышечной ткани. Настоящая работа посвящена анализу математических моделей объемного роста упругого материала. Обзор по основным принципам математического моделирования объемного роста материалов можно найти в Jones G.W., Chapman S.J. SIAM Review, 2012. В рассматриваемых моделях эволюция растущего материала описывается на основе второго принципа термодинамики открытых систем. Напомним, что в классической теории упругости состояние материала характеризуется полем перемещений $u$, которое является отображением фиксированной референтной области в трехмерное физическое пространство, и температурой Кельвина. Тензор дисторсии $Du$ определяется как матрица Якоби поля перемещений. Физические свойства материала полностью описываются плотностью свободной энергии Гельмгольца $W$, которая является функцией тензора дисторсии, его производной и температуры. Главная аксиома теории объемного роста состоит в том, что тензор дисторсии допускает мультипликативное представление $Du=GF$, где второй сомножитель называется имплантом или фактором роста, а первый играет роль интегрирующего множителя и отвечает за упругие деформации. Такого рода представление характерно для теорий калибровочного поля. Плотность свободной энергии растущего материала получается заменой в выражении для плотности свободной энергии $Du$ на $G$ и делением результата на определитель импланта. Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс роста, состоит из статического эллиптического уравнения для поля перемещений, «параболического» уравнения баланса энергии и эволюционного уравнения для импланта. Согласно второму принципу термодинамики и принципу ковариантности временная производная от импланта является линейной функцией тензора Эшелби с неотрицательными коэффициентеми. Тензор Эшелби определяется как производная свободной энергии по импланту при фиксированных температуре и тензоре дисторсии. Основная трудность задачи состоит в том, что поле перемещений удовлетворяет статическому уравнению, свойства решений которого определяются плотностью свободной энергии. Так как плотность свободной энергии не является выпуклой функцией градиента поля перемещений, то это уравнение может иметь много решений разрывных по временной переменной. Количество этих решений также зависит от временной переменной. Чтобы уменьшить неопределенность, необходимо указать дополнительные правила отбора, которые должны определяться базовыми термодинамическими принципами. Мы докажем, что в качестве первого правила отбора может выступать принцип минимума внутренней энергии при фиксированных энтропии и импланте. В качестве второго правила отбора может выступать принцип минимума диссипации энергии, родственный принципу Пригожина. В работе доказывается существование глобального решения задачи, удовлетворяющего указанным принципам. Основными ингредиентами доказательства являются метод минимакса для построения приближенных решений и представление слабых пределов приближенных решений в виде интегралов по вероятностным мерам на компактных подмножествах бесконечномерных пространств.