Столкновения упругих шаров и пространства Александрова ограниченной сверху кривизны

Рассматривается система из нескольких шаров, свободно двигающихся и упруго сталкивающихся в Евклидовом пространстве. Существует ли верхняя граница для числа столкновений, зависящая только от количества шаров и их масс? Можно рассмотреть аналогичную проблему для системы шаров в ограниченном пространстве. В этом случае имеет смысл вопрос об оценке количества столкновений в фиксированном временном интервале. Эта проблема впервые поставленная Я. Синаем в 1978 году, была решена с помощью геометрических рассмотрений в «generalized unfolding space», которое оказывается пространством неположительной кривизны. Этот подход помог решить и другие задачи, связанные с динамическими свуойствами биллиардов и привел к новому кругу проблем, лежащих на стыке геометрии, алгебры и комбинаторики. Доклад основан на совместной работе с С. Ферлегером, А. Кононенко и, частично, с Б. Клейнером.