Специальная геометрия Бора - Зоммерфельда

Пусть $(M, \omega)$ — компактное односвязное симплектическое многообразие с целочисленной симплектической формой. В Геометрическом квантовании важную роль играют данные предквантования $(L, a)$ — эрмитово линейное расслоение $L$ с первым классом Черна $c_1(L) = [\omega]$ и эрмитова связность $a$ на нем, кривизна которой $F_a = 2 \pi \omega$. В стандартных подходах используется пространство $\Gamma (M, L)$ гладких сечений $L$, а в лагранжевом подходе, возникшем после работ А. Тюрина и А. Городецева о многообразиях модулей бор–зоммерфельдовых лагранжевых циклов, данные предквантования позволяют ввести условия Бора–Зоммерфельда на лагранжевы подмногообразия. Оказывается, эти подходы можно связать введением понятия специальных бор–зоммерфельдовых лагранжевых циклов. В результате получается бесконечномерное кэлерово многообразие, не зависящее по построению ни от каких иных данных, кроме данных предквантования.
Особенно интересным оказывается это условие в рамках алгебраической геометрии. В этом случае специальная геометрия Бора–Зоммерфельда предлагает конструкцию "лагранжевых теней" для обильных дивизоров на алгебраических многообразиях. Например, если $M = Q$ — двумерная комплексная квадрика, то неприводимый дивизор, имеющий тип (1,1) относительно стандартных образующих в группе $H^2(Q, Z)$, "отбрасывает" лагранжеву тень, гамильтоново эквивалентную антидиагональной лагранжевой сфере; при этом приводимый дивизор из той же линейной системы лагранжевой тени не имеет.
Доклад основан на препринтах arXiv: 1508.0684, 1601.05974.