Аннотация:
1. Вариационные принципы вокруг нас или когда Природа говорит на языке оптимизации? Примеры задач поиска равновесий макросистем (задачи энтропийно-линейного программирования (ЭЛП) и их обобщения). В частности, поиск равновесий в популяционных играх загрузок (например, в транспортных сетях).
2. Оптимизация и анализ данных. Принцип максимума правдоподобия. Начальные понятия стохастической оптимизации.
3. Выпуклость в оптимизации и ее роль. Выпуклые функции и их свойства. Коническое представление. “Неожиданная” выпуклость и как ее устанавливать. Примеры (А.С. Немировский, S. Boyd).
4. Принцип множителей Лагранжа (в векторном пространстве, но не обязательно наделенном какой-то топологией), как следствие теоремы об отделимости (выпуклый случай). Принцип множителей Лагранжа, как следствие теоремы о неявной функции, как следствие теоремы Люстерника.
5. Два “кита” в теории поиска оптимума в выпуклых задачах: принцип Ферма и принцип Лагранжа. Примеры (теорема Каруша–Куна–Таккера, лемма Неймана–Пирсона).
6. Двойственность в задачах выпуклой оптимизации. Примеры (транспортные задачи).
7. Теорема о дифференцировании максимума (Демьянова–Данскина–Рубинова). Интерпретация множителей Лагранжа. Метод штрафных функций (на примере задачи поиска равновесия в транспортных сетях).
8. Теоремы об альтернативах (коническая двойственность). Примеры приложений: арбитражная теорема финансовой математики, робастная оптимизация.
Литература:
- Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
- Ross S. An elementary introduction to mathematical finance. Cambridge University Press, 2002.
http://catdir.loc.gov/catdir/samples/cam033/2002073603.pdf
- Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. Cambridge University Press, 2004.
http://stanford.edu/~boyd/cvxbook/;
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=11819
- Босс В. Лекции по математике. Оптимизация. Том 7. М.: КомКнига, 2007. Главы 2 – 4.
- Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2011.
- Магарил-Ильяев Г.Г. Вариационное исчисление и оптимальное управление (курс лекций на мехмате МГУ)
http://new.math.msu.su/department/opu/old_cite/INTERN/mag_il_lect_09.pdf
- Немировский А.С. Введение в современную робастную оптимизацию. Математический кружок МФТИ, 2011. http://www2.isye.gatech.edu/~nemirovs/Lect_EMCO.pdf
http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=6630
- Spokoiny V. Parametric estimation. Finite sample theory // The Annals of Statistics. 2012. V. 40. № 6. P. 2877–2909. arXiv:1111.3029v5
- Гасников А.В. статьи на транспортные и равновесно-макросистемные темы
http://arxiv.org/find/all/1/all:+gasnikov/0/1/0/all/0/1
Обратная связь: