Топология пространств функций Морса и инварианты $3$-мерных бездивергентных полей

Доклад посвящен следующим двум вопросам.
1) Как описать структуру и топологию (связных компонент) пространств морсовских функций на двумерных компактных многообразиях? Этот вопрос связан с обобщением В.И. Арнольда (2007) 16-й проблемы Гильберта о взаимном расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, или алгебраических поверхностей.
2а) Изучить топологические инварианты бездивергентных векторных полей (т.е. несжимаемых течений) на компактном $3$-мерном многообразии.
2б) Изучить траекторные инварианты интегрируемых $3$-мерных бездивергентных векторных полей, или интегрируемых гамильтоновых систем на $3$-мерных компактных изоэнергетических многообразиях.
Уловить структуру пространства ${\cal F}(M)$ морсовских функций на поверхности $M$ казалось задачей очень трудной, ибо это пространство бесконечномерно. Однако докладчику удалось придумать некий конечномерный геометрический объект с понятной структурой и доказать его гомотопическую эквивалентность пространству ${\cal F}(M)$, снабженному $C^\infty$-топологией.
В математической физике актуальным является изучение топологических инвариантов магнитных полей, т.е. инвариантов бездивергентных векторных полей (называемых также несжимаемыми течениями) на компактной области $3$-мерного евклидова пространства. Хорошо известен инвариант Хопфа — спиральность. Согласно теореме В.И. Арнольда (1973), спиральность равна усредненному коэффициенту зацепления интегральных траекторий. Докладчику удалось доказать, что любой топологический инвариант несжимаемых течений, имеющий регулярную и непрерывную относительно $C^1$-топологии производную, выражается через спиральность.
А.В. Болсинов и А.Т. Фоменко (1994) построили полный инвариант траекторной эквивалентности интегрируемых $3$-мерных бездивергентных полей (т.е. интегрируемых гамильтоновых систем на $3$-мерных изоэнергетических многообразиях). Докладчиком изучается следующий вопрос. Существуют ли продолжимые траекторные инварианты на том или ином страте Максвелла в пространстве интегрируемых бездивергентных полей (т.е. инварианты Болсинова–Фоменко на пространстве систем на соответствующем $3$-атоме, которые можно непрерывно продолжить в некоторую окрестность данного страта Максвелла до инварианта траекторной эквивалентности)? Будут сформулированы геометрические условия существования продолжимых траекторных инвариантов, построены примеры.