Об обобщенном комбинаторном потоке Риччи на тетраэдре

В докладе пойдет речь о метриках на тетраэдре, которые задаются следующими данными: на каждом ребре, соединяющем вершины с номерами $i$ и $j$, выбирается угол $\theta_{ij}$ от $0$ до $\pi$, а в каждой вершине — окружность положительного радиуса $r_i$, удовлетворяющие условию, что если две вершины $i$ и $j$ соединяются ребром, то соответствующие окружности пересекаются под углом $\theta_{ij}$.
Далее мы рассматриваем все такие метрики, у которых фиксирован реберный граф многогранника (в нашем случае, тетраэдра) и углы $\theta_{ij}$, а радиусы окружностей могут меняться. Эти данные задают длины ребер тетраэдра, а следовательно, кривизны $K_i$ в вершинах. Комбинаторным потоком Риччи называется система уравнений
$$ \dfrac{d}{dt}r_i = - K_i r_i. $$
Известно, что для широкого класса многогранников и весов на их ребрах, являющихся острыми углами, существует единственная с точностью до пропорциональности метрика постоянной кривизны. Также для этих многогранников поток Риччи для любой начальной метрики сходится к метрике постоянной кривизны.
Недавно нам удалось исследовать количество метрик постоянной кривизны на семействах тетраэдров с симметриями в случае, когда углы, соответствующие ребрам, могут быть и тупыми. Оказалось, что, в зависимости от выбранных значений углов для ребер, количество решений может меняться от $0$ до $5$. Удалось показать, что для некоторых начальных метрик поток Риччи не сходится к метрике постоянной кривизны.
Также удалось доказать, что даже для тупых углов при определенных условиях поток Риччи для любой начальной метрики сходится к метрике постоянной кривизны.