О некоторых методах минимаксного обнаружения сигнала в гауссовском белом шуме

Пусть наблюдается функция $f(t),\ t\in(0,1),\ f\in L_2(0,1)$ в гауссовском белом шуме:
$$ dX_\varepsilon(t)=f(t)dt+\varepsilon dW(t),\quad s\in L_2([0,1]^d), $$
где $W(t)$ является стандартным винеровским процессом на $[0,1]$.
Рассматривается задача проверки гипотез в минимаксной постановке. Мы будем проверять простую гипотезу $H_0: f=0$ против альтернативы $H_1$. В качестве альтернативы мы будем рассматривать множество неизвестных функций, отделенных от нуля:
$$ \|f\|\ge r_\varepsilon, $$
для некоторого положительного семейства $r_\varepsilon\to 0$.
Кроме того, на множество альтернатив ${\mathcal{F}}_\varepsilon$ накладываются некоторые дополнительные ограничения, зависящие от свойств функций $f(t)$. Эти ограничения позволяют исключить "слишком широкие" классы альтернатив и связаны с тем, что иначе задача в минимаксной постановке обычно вырождается, то есть суммарная ошибка обнаружения равна 1.
В рамках рассматриваемой модели "наблюдение" является функцией $X:L_2\to G$, принимающей значения в множестве $G$ гауссовских случайных величин. При этом, если $\xi=X(\phi),\ \eta=X(\psi),\phi,\psi\in L_2$, то $E(\xi)=(f,\phi),\,E(\eta)=(f,\psi),\, \mathrm{Cov}(\xi,\eta)=\varepsilon^2(\phi,\psi)$. Для любой $f\in L_2$, наблюдения $X_\varepsilon$ определяет гауссовскую меру $P_{\varepsilon,f}$.
Выбирая ортогональный базис $\{\phi_l,\ l\in\mathcal{L}\}\}$ in $L^d_2$, где $\mathcal{L}$ - счетное множество, можно рассмотреть эквивалентную гауссовскую модель в пространстве последовательностей
$$ X_l=\theta_l+\varepsilon\xi_l,\quad \xi_l\sim\mathcal{N}(0,1)\quad i.i.d.,\quad l\in\mathcal{L}, $$
где $\theta_l=(f\phi_l)$ - коэффициенты ряда Фурье неизвестной функции $s$ и $X_l=X(\phi_l)$ - эмпирические коэффициенты Фурье.
Обозначим через $\gamma_\varepsilon=\gamma_\varepsilon(\mathcal{F}, r_\varepsilon,\psi)$ минимаксную вероятность ошибки теста $\psi$ (под тестом будем понимать измеримую функцию наблюдений со значениями в $[0,1]$), т. е., сумму вероятности ошибки первого рода и максимальной вероятности ошибки второго рода
$$ \gamma_\varepsilon(\mathcal{F},r_\varepsilon,\psi)=E_{\varepsilon,0}\psi+\sup_{f\in \mathcal{F}(r_\varepsilon)}E_{\varepsilon,f}(1-\psi), $$
и
$$ \gamma_\varepsilon=\gamma_\varepsilon(\mathcal{F},r_\varepsilon)=\inf_{\psi}\gamma_\varepsilon(\mathcal{F},r_\varepsilon,\psi) $$
где infimum берется по всем возможным тестам $\psi$. Известно, что $\gamma_\varepsilon\in [0,1]$. Нас будет интересовать поведение ошибки $\gamma_\varepsilon$ в асимптотике в зависимости от величины $r_\varepsilon\to 0$ и других ограничений. Оказывается, что изучение этой задачи можно связать с некоторыми экстремальными выпуклыми задачами.
В докладе будет рассмотрена методика перехода к этим экстремальным задачам и будут приведены результаты, которые удалось получить пользуясь этой методикой.
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2002). Nonparametric Goodness-of-Fit Testing under Gaussian Model. Lectures Notes in Statistics. Vol. 169, Springer-Verlag, New York.
\bibitem{2} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2004). Nonparametric hypothesis testing for small type I errors. I Math. Methods Statist., 13, 409–459.
\bibitem{3} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2005). On estimation and detection of smooth function of many variables. Math. Methods Statist., 14, 299–331.
\bibitem{4} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2007). Estimation and detection of high-variable function from Sloan - Wo$\rm\acute{z}$niakowski space. Math. Methods Statist., 16, 318–353.
\bibitem{5} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2007). On estimation and detection of a function from tensor product spaces (in Russian). Zapiski Nauchn, Sem. POMI, 351, 180–218. (translation in J. Math. Sci., 152, 897–920 (2008)). \bibitem{I97} Ingster, Yu.I. (1997) Some problems of hypothesis testing leading to infinitely divisible distributions. Math. Methods of Stat. 6, 47-69.
\bibitem{6} Ingster, Yu.I. and Stepanova, N.A. (2012)
Adaptive selection of sparse regression function components. Zapiski Nauchn. Sem. POMI ZAI (in Russian).
\bibitem{7} Ingster, Yu.I. and Suslina, I.A. (2002) On a detection of a signal of known shape in multichannel system. Zapiski Nauchn. Sem. POMI 294, 88-112 (in Russian, Transl. J. Math. Sci. 127, 1723-1736).
\bibitem{8} Ingster, Yu.I., Estimation and detection of functions from weighted tensor product spaces (joint with N. Stepanova). Mathematical Methods of Statistics, v. 18 (2009), No. 4, 310-340
\bibitem{9} Ingster, Yu.I., Detection boundary in sparse regression (joint with A. Tsybakov and N. Verzelen). Electronic Journal of Statistics, Vol. 4 (2010), 1476–1526
\bibitem{10} Ingster, Yu.I.,Estimation and detection of functions from anisotropic Sobolev classes (joint with N. Stepanova). Electronic Journal of Statistics, Vol. 5 (2011), 484–506
\bibitem{11} Ingster, Yu.I., Minimax signal detection in ill-posed inverse problems (joint with T. Sapatinas and I. Suslina). Annals of Statistics 2012, Vol. 40, No. 3, 1524-1549.
\bibitem{12} Ingster, Yu.I., Detection of sparse additive functions (joint with Ghislaine Gayraud) Electronic Journal of Statistics, Vol. 6 (2012), 1409-1448 \end{thebibliography}