|
|
Семинар Лаборатории Чебышёва «Теория вероятностей»
8 апреля 2016 г. 16:15, г. Санкт-Петербург, ПОМИ, наб. р. Фонтанки 27 ауд. 106
|
|
|
|
|
|
О некоторых методах минимаксного обнаружения сигнала в гауссовском белом шуме
И. А. Суслина Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
|
Количество просмотров: |
Эта страница: | 147 |
|
Аннотация:
Пусть наблюдается функция
$f(t),\ t\in(0,1),\ f\in L_2(0,1)$
в гауссовском белом шуме:
$$
dX_\varepsilon(t)=f(t)dt+\varepsilon dW(t),\quad s\in L_2([0,1]^d),
$$
где $W(t)$ является стандартным винеровским процессом на $[0,1]$.
Рассматривается задача проверки гипотез в минимаксной постановке. Мы
будем проверять простую гипотезу $H_0: f=0$ против альтернативы
$H_1$. В качестве альтернативы мы будем рассматривать множество
неизвестных функций, отделенных от нуля:
$$
\|f\|\ge r_\varepsilon,
$$
для некоторого положительного семейства $r_\varepsilon\to 0$.
Кроме того, на множество альтернатив ${\mathcal{F}}_\varepsilon$ накладываются
некоторые дополнительные ограничения, зависящие от свойств функций
$f(t)$. Эти ограничения позволяют исключить "слишком широкие" классы альтернатив и связаны с тем, что иначе задача в минимаксной постановке обычно вырождается, то есть суммарная ошибка обнаружения
равна 1.
В рамках рассматриваемой модели "наблюдение" является функцией
$X:L_2\to G$, принимающей значения в множестве $G$ гауссовских
случайных величин. При этом, если $\xi=X(\phi),\ \eta=X(\psi),\phi,\psi\in L_2$, то $E(\xi)=(f,\phi),\,E(\eta)=(f,\psi),\,
\mathrm{Cov}(\xi,\eta)=\varepsilon^2(\phi,\psi)$. Для любой $f\in L_2$, наблюдения
$X_\varepsilon$ определяет гауссовскую меру $P_{\varepsilon,f}$.
Выбирая ортогональный базис $\{\phi_l,\ l\in\mathcal{L}\}\}$ in $L^d_2$, где
$\mathcal{L}$ - счетное множество, можно рассмотреть эквивалентную
гауссовскую модель в пространстве последовательностей
$$
X_l=\theta_l+\varepsilon\xi_l,\quad \xi_l\sim\mathcal{N}(0,1)\quad i.i.d.,\quad l\in\mathcal{L},
$$
где $\theta_l=(f\phi_l)$ - коэффициенты ряда Фурье неизвестной функции
$s$ и $X_l=X(\phi_l)$ - эмпирические коэффициенты Фурье.
Обозначим через $\gamma_\varepsilon=\gamma_\varepsilon(\mathcal{F}, r_\varepsilon,\psi)$ минимаксную вероятность
ошибки теста $\psi$ (под тестом будем понимать измеримую функцию
наблюдений со значениями в $[0,1]$), т. е., сумму вероятности ошибки
первого рода и максимальной вероятности ошибки второго рода
$$
\gamma_\varepsilon(\mathcal{F},r_\varepsilon,\psi)=E_{\varepsilon,0}\psi+\sup_{f\in
\mathcal{F}(r_\varepsilon)}E_{\varepsilon,f}(1-\psi),
$$
и
$$
\gamma_\varepsilon=\gamma_\varepsilon(\mathcal{F},r_\varepsilon)=\inf_{\psi}\gamma_\varepsilon(\mathcal{F},r_\varepsilon,\psi)
$$
где infimum берется по всем возможным тестам $\psi$. Известно, что
$\gamma_\varepsilon\in [0,1]$. Нас будет интересовать поведение ошибки $\gamma_\varepsilon$ в
асимптотике в зависимости от величины $r_\varepsilon\to 0$ и других
ограничений. Оказывается, что изучение этой задачи можно связать с
некоторыми экстремальными выпуклыми задачами.
В докладе будет рассмотрена методика перехода к этим экстремальным
задачам и будут приведены результаты, которые удалось получить
пользуясь этой методикой.
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2002).
Nonparametric Goodness-of-Fit Testing under Gaussian Model.
Lectures Notes in Statistics. Vol. 169, Springer-Verlag, New
York.
\bibitem{2} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2004).
Nonparametric hypothesis testing for small type I errors. I
Math. Methods Statist., 13, 409–459.
\bibitem{3} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2005).
On estimation and detection of smooth function of many variables.
Math. Methods Statist., 14, 299–331.
\bibitem{4} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2007).
Estimation and detection of high-variable function from Sloan -
Wo$\rm\acute{z}$niakowski space. Math. Methods Statist.,
16, 318–353.
\bibitem{5} Ingster, Yu.I., Suslina I.A. (2007). On estimation
and detection of a function from tensor product spaces (in Russian).
Zapiski Nauchn, Sem. POMI, 351, 180–218. (translation
in J. Math. Sci., 152, 897–920 (2008)).
\bibitem{I97} Ingster, Yu.I. (1997)
Some problems of hypothesis testing leading to infinitely divisible
distributions. Math. Methods of Stat. 6, 47-69.
\bibitem{6} Ingster, Yu.I. and Stepanova, N.A. (2012)
Adaptive selection of sparse regression function components.
Zapiski Nauchn. Sem. POMI ZAI (in Russian).
\bibitem{7} Ingster, Yu.I. and Suslina, I.A. (2002)
On a detection of a signal of known shape in multichannel system.
Zapiski Nauchn. Sem. POMI 294, 88-112 (in Russian,
Transl. J. Math. Sci. 127, 1723-1736).
\bibitem{8} Ingster, Yu.I., Estimation and detection of functions from
weighted tensor product spaces (joint with N. Stepanova).
Mathematical Methods of Statistics, v. 18 (2009), No. 4, 310-340
\bibitem{9} Ingster, Yu.I., Detection boundary in sparse regression (joint
with A. Tsybakov and N. Verzelen). Electronic Journal of Statistics,
Vol. 4 (2010), 1476–1526
\bibitem{10} Ingster, Yu.I.,Estimation and detection of functions from
anisotropic Sobolev classes (joint with N. Stepanova). Electronic
Journal of Statistics, Vol. 5 (2011), 484–506
\bibitem{11} Ingster, Yu.I., Minimax signal detection in ill-posed inverse
problems (joint with T. Sapatinas and I. Suslina). Annals of
Statistics 2012, Vol. 40, No. 3, 1524-1549.
\bibitem{12} Ingster, Yu.I., Detection of sparse additive functions (joint
with Ghislaine Gayraud) Electronic Journal of Statistics, Vol. 6
(2012), 1409-1448
\end{thebibliography}
|
|