Критерии относительной и стохастической компактности распределений сумм независимых случайных величин без предположения равномерной предельной малости слагаемых

Относительная компактность последовательности распределений является фундаментальным понятием в проблематике слабой сходимости вероятностных мер. Сходным, но более узким, является введенное В. Феллером (см. [Feller]) понятие стохастической компактности: последовательность распределений называется стохастически компактной, если любая ее подпоследовательность содержит свою подпоследовательность, которая слабо сходится к некоторому вероятностному распределению, не сосредоточенному в какой-либо одной точке.
В докладе будут рассматриваться задачи отыскания критериев относительной и стохастической компактности последовательности распределений центрированных сумм независимых случайных величин в рамках схемы серий. Заметим, что эти вопросы не освещены как в известных классических книгах, так и в более современных монографиях ([Zolot1], [Petrov2], [Petrov3] и [Zolot2]) по теории суммирования независимых случайных величин. Тем не менее некоторые результаты по данной тематике, конечно, существуют.
В известной книге В. Феллера [FellerII] (с. 352–354) приведен критерий относительной компактности для распределений сумм независимых случайных величин в рамках треугольной схемы серий (англ. triangular arrays), где в каждой серии случайные величины предполагались одинаково распределенными. В статьях [Kruglov] и [JainOrey] можно найти обобщения этого критерия на случай общих схем серий (не обязательно треугольных) без предположения одинаковой распределенности случайных величин в каждой из них, однако при условии равномерной предельной малости. Наиболее общий результат без предположения и этого условия был получен Г. Зигелем в статье [Siegel] (с. 127–130), где ключевыми средствами автору послужили функции концентрации (см. также [Siegel2]).
Стохастическая компактность распределений сумм независимых случайных величин является менее изученной. Критерий для нее найден только в рамках вышеуказанной треугольной схемы серий (с теми же предположениями). Его формулировка приведена в статье В. Феллера [Feller] (с. 379–380). Там же найден критерий в виде одного условия для важного частного случая: классических растущих сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин.
В докладе мы обратимся к найденному Г. Зигелем критерию относительной компактности последовательности распределений центрированных сумм независимых случайных величин в рамках схемы серий и сформулируем его в более полной форме. При этом мы, возможно, обсудим новое доказательство данного критерия, основанное на характеристических функциях. Также для указанных сумм мы рассмотрим критерий стохастической компактности без предположения равномерной предельной малости слагаемых либо их равномерного предельного постоянства. Кроме того, мы дадим несколько новых формулировок критериев относительной и стохастической компактности в терминах характеристических функций суммируемых случайных величин.
Изучение обоих типов компактности распределений таких фундаментальных объектов как суммы независимых случайных величин мотивировано самостоятельным интересом к ним в рамках соответствующей теории предельных теорем, а также некоторыми современными приложениями этой теории (например, в многопараметрических задачах аппроксимации случайных полей, см. статью [Khart] и ссылки в ней).

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Siegel} Г. Зигель, Компактность последовательности сумм независимых случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве, Литов. матем. сб., 21 (1981), № 4, 123–136.
\bibitem{Zolot1} В. М. Золотарев, Современная теория суммирования независимых случайных величин, Наука, М., 1986.
\bibitem{Kruglov} В. М. Круглов, Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величин, ТВП, 43 (1998), № 2, 248–271.
\bibitem{Petrov2} В. В. Петров, Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, Наука, М., 1987.
\bibitem{FellerII} В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т. 2, Мир, М., 1984.
\bibitem{Feller} W. Feller, On regular variation and local limit theorems, Proc. V Berkeley Symp. Math. Stats. Prob., 2 (1967), part 1, 373–388.
\bibitem{JainOrey} N. C. Jain , S. Orey, Domain of partial attraction and tightness conditions, Ann. Probab., 8 (1980), no. 3, 584–599.
\bibitem{Khart} A. A. Khartov, Asymptotic analysis of average case approximation complexity of Hilbert space valued random elements, J. Complexity, 31 (2015), 835–866.
\bibitem{Petrov3} V. V. Petrov, Limit Theorems of Probability Theory: Sequences of Independent Random Variables, Oxford Stud. Prob. 4, Clarendon Press, Oxford, 1995.
\bibitem{Siegel2} G. Siegel, Zero-one laws and weak convergence of sums of independent random variables, Math. Nachr., 86 (1978), 333–346.
\bibitem{Zolot2} V. M. Zolotarev, Modern Theory of Summation of Random Variables, VSP, Utrecht, 1997. \end{thebibliography}