О языках Арнольда в модели эффекта Джозефсона, голоморфных решениях уравнения Гойна и детерминантах из модифицированных функций Бесселя

Рассматривается семейство дифференциальных уравнений на торе, моделирующее эффект Джозефсона из сверхпроводимости. Исследуются зоны фазового захвата: множества уровня числа вращения (имеющего смысл среднего напряжения за длинный интервал времени), имеющие непустую внутренность. Оказывается, что в отличие от классической картины языков Арнольда, в рассматриваемом семействе зоны захвата существуют только для целых значений чисел вращения (замечено и доказано В.М. Бухштабером, О.В. Карповым и С.И. Тертычным и чуть позднее доказано Ю.С.Ильяшенко). Известно, что каждая зона захвата является бесконечной цепочкой областей на плоскости, разделенных перемычками и уходящими на бесконечность, а границы областей имеют Бесселеву асимптотику (замечено физиками С. Шапиро, А. Янусом и С. Холли (1964 г.) и недавно доказано А.В. Клименко и О.Л. Ромаскевич). Рассматриваемое семейство уравнений на торе эквивалентно семейству голоморфных линейных дифференциальных уравнений второго порядка на сфере Римана: биконфлюэнтных уравнений Гойна. В докладе будет сделан обзор открытых вопросов и результатов о геометрии зон захвата, с рассказом о геометрических результатах, полученных комплексными методами. В частности, об описании координат перемычек, по работам В.М. Бухштабера, С.И. Тертычного, В.А. Клепцына, Д.А. Филимонова, И.В. Щурова и докладчика. С акцентом на недавнюю работу В.М. Бухштабера и докладчика, в которой получен новый результат о детерминантах из модифицированных функций Бесселя, доказывающий гипотезу Бухштабера–Тертычного о частичном описании ординат перемычек.