Интегралы с квадратическими иррациональностями

В 1860 году Чебышевым была поставлена следующая задача относительно интегралов вида $\int\frac{\rho}{\sqrt{R}}\,dt$, где $R$ — полином степени $2m$ без кратных корней, а $\rho$ — полином степени $m-1$. Как по коэффициентам полинома $R$ при помощи конечного числа алгебраических действией узнать, возможно или нет выбрать полином $\rho$ так, чтобы интеграл вычислялся в конечном виде? Для полиномов $R$ степени 4 при помощи оценки длины периода непрерывной дроби корня $\sqrt{R}$ Чебышев решил задачу для рациональных коэффициентов, а Золотарев решил задачу для алгебраических коэффициентов. В докладе будет дано решение для «почти всех» полиномов $R$ степени $2m$ с рациональными коэффициентами. Остался открытым вопрос относительно полиномов $R$ с группами Галуа «малых» порядков $\le 4(2m-2)!$. Для полиномов $R$ степени 4 с рациональными коэффициентами будет дано полное решение задачи. Получена точная оценка $\le 22$ длины периода непрерывной дроби корня $\sqrt{R}$ и перечислены десять серий интегралов, допускающих вычисление в конечном виде. Первая серия построена Эйлером. Следующие четыре серии построены Абелем. Построение всех десяти серий сводится к построению рациональных параметризаций алгебраических кривых рода 0. Число десять следует из теоремы Мазура о группах кручения эллиптических кривых.