Конечные и бесконечные псевдотраектории в хаотических системах

Теория отслеживания изучает свойства псевдотраеторий (приближенных траекторий, $\varepsilon$-траекторий) динамических систем. Основной вопрос теории отcлеживания состоит в следующем: при каких условиях для любой псевдотраектории с достаточно малыми погрешностями может быть найдена близкая точная траектория (отслеживающая траектория) динамической системы? Понятие отслеживания было введено Аносовым в 1960-х годах при изучении устойчивости геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны. Позднее оно было обобщено на гладкие динамические системы с дискретным и непрерывным временем и сыграло ключевую роль в характеризации грубых систем, введенных ранее Андроновым и Понтрягиным. В частности, при помощи свойства отслеживания доказывается структурная устойчивость гиперболических множеств.
Известно, что в окрестности гиперболического множества отображение обладает свойством отслеживания. При этом до сих пор известно очень мало примеров негиперболических множеств, обладающих свойством отслеживания. В то же время на практике (например, при численном моделировании) псевдотраектории могут быть приближены точными траекториями намного лучше, чем предсказывает теория, и это требует дополнительного объяснения. Следует упомянуть результаты Хаммела–Гребоджи–Йорка, в которых рассматривались псевдотраектории конечной длины. Основываясь на результатах численных экспериментов, они выдвинули гипотезу о длине отслеживаемых псевдотраекторий для неравномерно гиперболических множеств.
В докладе будут рассмотрены количественные аспекты свойства отслеживания, а именно зависимость между погрешностью псевдотраекторий, точностью отслеживания и длиной псевдотраекторий. Будут приведен общий обзор темы, а также некоторые результаты автора. В частности, будет 1) доказано, что зависимость между погрешностью псевдотраекторий и точностью отслеживания линейна тогда и только тогда, когда динамическая система структурно устойчива; 2) показано, что гипотеза Хаммела–Гребоджи–Йорка не может быть улучшена; 3) предложен вероятностный подход к изучению псевдотраекторий в неравномерно гиперболических системах, и в некотором частном случае получена точная оценка длины отслеживаемых псевдотраекторий.