Когомологии Галуа вещественных редуктивных алгебраических групп (по совместной работе с М. В. Боровым)

Часто бывает, что алгебро-геометрические объекты некоторого типа (например, невырожденные квадратичные формы в $n$-мерном пространстве) эквивалентны друг другу над алгебраически замкнутым полем, но распадаются на разные классы эквивалентности над незамкнутым подполем. С точки зрения алгебраических групп преобразований ситуация описывается следующим образом: имеется однородное пространство $X=G/H$ алгебраической группы $G$ над полем $k$, и вопрос заключается в описании орбит группы $G(k)$ на множестве $X(k)$ точек многообразия $X$ над полем определения. Общий ответ даётся в терминах когомологий Галуа: множество орбит $X(k)/G(k)$ находится в биективном соответствии с ядром естественного отображения $H^1(k,H) \to H^1(k,G)$. Возникает задача вычисления когомологий Галуа алгебраических групп в "функториальных" терминах, позволяющих описывать их поведение при гомоморфизмах групп. Для линейных алгебраических групп с помощью точных последовательностей когомологий Галуа задача в известном смысле сводится к случаю редуктивных групп. В докладе будет дано описание когомологий Галуа связных редуктивных групп над полем $k=\mathbb R$ в явных комбинаторных терминах (числовые отметки на аффинных диаграммах Дынкина и т. п.).