Фуллерены, нанотрубки и комбинаторные структуры на поверхностях

Фуллерены и нанотрубки представляют собой гигантские молекулы, состоящие исключительно из атомов углерода. Математической моделью фуллерена является поверхность выпуклого трёхмерного многогранника, составленная из пяти и шестиугольников. Нанотрубка получается из плоскости, разбитой на шестиугольники (математическая модель графена) и свёрнутой в цилиндр. Математической моделью замкнутой нанотрубки является полученный из нанотрубки конечный цилиндр, границы которого заклеены фуллереновыми шапочками. С комбинаторно-топологической точки зрения замкнутые нанотрубки представляют собой частный случай фуллеренов. Принципиально важным в модели фуллерена является требование, чтобы в каждой его вершине сходилось ровно три ребра. В этом случае из формулы Эйлера легко следует, что число пятиугольников равно двенадцати. Более того, можно показать, что число пятиугольников в каждой шапочке, заклеивающей онечную нанотрубку, равно шести. Методами выпуклой геометрии нетрудно показать, что число шестиугольников $p_6$ может быть любым, за исключением $p_6 = 1$.
Методами, использующими уже глубокие математические результаты, показывается, что число комбинаторно неэквивалентных фуллеренов с данным $p_6$ растёт как $p_6^9$. Задача комбинаторной классификации фуллеренов является новой красивой математической задачей, решение которой приведёт к актуальным приложениям в физике, химии и биологии.
В центре внимания доклада будет результат, полученный недавно совместно с Н. Ю. Ероховцом: Комбинаторный тип любого фуллерена может быть построен из додекаэдра при помощи комбинации всего семи операций усечения. Длина комбинации этих операций равна числу шестиугольников в этом фуллерене.